感谢芭芭拉，她的鼓舞、支持和耐心成就了本书。

献给我的子女和孙辈——戴维、丽莎、丹尼、麦克斯、萨姆和杰克， 他们拥有无限的未来。

纪念我深爱的父母——爱丽丝和欧内斯特，他们从未对我失去信心。

——阿尔弗雷德·S.波萨门蒂

 引言

毕达哥拉斯毕达哥拉斯(Pythagoras)，古希腊哲学家、数学家，毕达哥拉斯学派的创立者，主张万物皆数。——译注、欧几里得欧几里得(Euclid)，古希腊数学家，被称为“几何之父”。他所著的《几何原本》(Elements)是世界上最早公理化的数学著作，为欧洲数学奠定了基础。——译注和美国前总统加菲尔德加菲尔德(James A. Garfield)，1880年当选美国第20任总统，就职4个月后遭暗杀。——译注有什么共同之处？答案是他们各自以不同的方法证明了毕达哥拉斯定理。

在聚会上听到关于必须在学校学习数学的负面言论并不罕见，特别是当这群人中有一位数学家时尤其如此。如果这些受过良好教育的人对自己在学校里数学成绩不好这件事流露出自豪，那就更糟糕了。有些人会声称几乎记不起任何学生时代学过的数学，但他们仍会记得“a的平方加上b的平方等于c的平方”(a2+b2 = c2)，这可能部分是因为这个关系式使用了字母表的前三个字母。有些人绞尽脑汁还能回忆起这一关系的发现者：毕达哥拉斯。但不幸的是，这一关系式的含义在大多数人的记忆中并不牢靠。事实上，这条显然与几何联系在一起的著名定理，同时也是三角学领域的基础，还进入了数不清的其他领域，如艺术、音乐、建筑和各种数学领域（主要是关于数的研究）。这一关系式是如何演变的？为什么这一关系式吸引了无数代人？这位名叫毕达哥拉斯的精彩与争议并存的人是谁？这些只是我们在对这一最流行的数学关系式进行广泛探究时要考虑的几个非常诱人的问题。

从最基础的意义上说，毕达哥拉斯定理指出，如果你在一个直角三角形的每条边上画一个正方形，如图1所示，那么其中两个较小正方形（即在两条相互垂直的边上的正方形——这两条边被称为这个三角形的直角边）的面积之和等于在最长边上所画的正方形的面积，最长边被称为斜边。

虽然我们永远无法确定是谁首先在直角三角形的各边之间建立了这种关系，但西方文化将这种关系的发现归功于毕达哥拉斯及其追随者。这些人为这一非凡的结果赋予了神秘的意义。

这种关系在我们的生活中以多种形式出现。例如，如图2所示的瓷砖地面。在直角三角形的两条直角边上的两个正方形中，有阴影和无阴影的三角形的数量之和等于此三角形斜边上的正方形中有阴影和无阴影三角形的数量。

毕达哥拉斯定理研究的主导思想一直是寻找该定理的新证明和新应用。几个世纪以来，毕达哥拉斯定理原创证明的寻找一直吸引着数学家和数学爱好者。目前已发表了500多种证明，它们都验证了这一著名定理的正确性。我们将探讨一些值得关注的证明：那些非常简洁的证明，那些极为聪明的证明，以及那些真正优雅的证明！我们还将追踪这条简单但强大的定理的无所不在，它对数学和许多其他学科都产生了重大的影响。还有其他一些得益于毕达哥拉斯的研究，如音乐，也将在接下来的章节中加以研究。

一个直角三角形的外形显然取决于它各边的长度。当两个三角形的三条边长成比例时，它们就是相似三角形。当一个三角形的各边长是另一个三角形各边长的倍数时，这一点尤其贴切。某些三角形的三边长都是自然数自然数就是计数数1,2,3,4,…——原注

我国的现行标准将自然数定义为0,1,2,3,4,…——译注，在这样的三角形中，至少存在一个三角形，其各边长有一个公因子。其中，特别令人感兴趣的，是直角三角形的整数边长之间没有公因子的情况。我们称之为本原(primitive)直角三角形，而此时这三条边长构成我们所谓的本原毕达哥拉斯三元组。从毕达哥拉斯三元组中可以发现一些精彩的性质，我们将在本书中探索这些性质。例如，让我们考虑最流行的毕达哥拉斯三元组：(3,4,5)。成为毕达哥拉斯三元组的条件，是前两个数的平方之和必须等于第三个数的平方，即a2+b2必须等于c2。这组数确实满足这一条件，即32+42 = 9+16 = 25 = 52。探究构成一个毕达哥拉斯三元组的三个数的乘积也很有趣，在本例中是3×4×5 = 60。我们稍后将证明，任何毕达哥拉斯三元组的各成员之积总是60的倍数。我们还会向你展示如何生成其他毕达哥拉斯三元组，并挖掘它们的丰富内涵。

毕达哥拉斯定理有一个有趣的结果，即这条定理与无理数的存在被发现之间有联系，无理数是不能写成ab形式的数(其中a、b是整数，且b不等于0)。有些人认为除了整数和分数之外，就没有其他数了。事实上，有无限多的数都不是以这两种形式出现的。其中有些被称为无理数，有些被称为虚数。有些几何长度无法用标准的英寸（或毫米）尺精确测量。但是，它们可以用标准的几何作图工具精确作图得到（例如长度为2英寸的线段）。这里的作图工具指的是一把无刻度的直尺和一副圆规。这些数字曾一度引起争议，但它们产生了一整套我们现在认为理所当然的新数字。这些数不能表示为两个整数之比，因此不是有理数，于是就被称为无理数。事实上，这些数字被称为无理数就已经暗示了伴随着它们的发现而引发的轩然大波。可以写成分数形式的数被称为有理数（即可以写成两个整数之比的数），而不能写成分数形式的数被认为是无理数。当我们使用毕达哥拉斯定理时，我们将同时使用有理数和无理数。

毕达哥拉斯定理也是解析几何的关键。解析几何是一门在坐标平面（比如说在方格纸上看到的）上研究几何的学科。当我们在坐标平面上测量距离时，就需要用到毕达哥拉斯定理，这个坐标平面被称为笛卡儿平面，名称取自将这种方法引入几何学的法国数学家笛卡儿笛卡儿(René Descartes)，法国哲学家、数学家、物理学家。他将几何坐标体系公式化，也是二元论的代表人物、、西方现代哲学的奠基人之一。——译注。此外，整个三角学领域都依赖毕达哥拉斯定理。这些只是这条定理的一些表现，我们将一起发掘它的其他宝藏。

在本书中，我们将研究毕达哥拉斯定理的广泛应用，其中许多应用在其发现之初未曾预料，而现在已经深深扎根于我们的数学之中。我们还将深入非数学领域，观察毕达哥拉斯定理意料之外的出现，例如它在我们的流行文化中占据的一席之地（当《绿野仙踪》中的稻草人意识到自己一直都有大脑时，他脱口而出毕达哥拉斯定理）。此外，在音乐和分形艺术领域，我们也会看到毕达哥拉斯的研究所受的关注。

请与我们一起了解并探索这条几何和数学中最著名定理的力量和辉煌。我们将带你踏上一段迷人的旅程，见识令人惊叹的数学。