前言：为什么是“五角”

对于古往今来的许多数学家而言，“五角”是个散发着奇特魅力的词——我不是在说美国国防部所在的“五角大楼”，而是字面意义上的、由五条边组成的“五边形”，以及由其对角线相连而成的“五角星”。

——墨菲（Richard Murchie）1

1959年9月14日，苏联的“月球2号”探测器坠落在月球表面的雨海盆地以东，成为首个在月球表面实现硬着陆的航天器。探测器携带了两个直径分别为15厘米和9厘米的装饰球（图1），它们由刻有字母和苏联盾徽的五边形金属奖章拼接而成。在探测器与月球表面发生撞击时，金属球被撞碎，这些五边形的奖章就随之散落在着陆点附近，成为人类首次“地外之旅”时发送的“名片”。

五边形的历史可以追溯到大约2500年前。公元前6世纪，毕达哥拉斯学派的数学家们认为五边形有着特殊的魔力，能为人们带来好运和财富。他们把五边形的五个顶点依次连接，组成“五角星”的形状，并以此作为学派内部的问候标志2。时间流逝，而围绕在五角星周围的神秘色彩却并未消散。在中亚、北非等许多地区的穆斯林清真寺里，五角星和六角星的装饰随处可见（彩插15），甚至摩洛哥的市政旗子上也有五角星（彩插8）。

通常而言，我们在说“五边形”时，其实是在说“正五边形”——它的每条边、每个角都相等。正五边形的侧边向外凸出，看上去不如正方形、正六边形或者正八边形那么优美对称、赏心悦目。不过，实际并非如此。假如我们对某个图形进行旋转或翻转后，其形状保持不变，那么可以称其具有“对称元素”。正五边形有十个“对称元素”，其中包括5次旋转（每次绕其中心旋转72°）和5次翻转（其对称轴是经过一个顶点及其对边的垂线）。相比之下，正方形只有八个“对称元素”（4个90°的旋转，两条对角线以及两条对边中点的连线）。由此可见，看上去更对称的不一定真的更对称。随着本书的展开，我们还将进一步研究五边形和五角星的其他许多并非“显而易见”的特性。

正五边形在“对称性”上不遑多让，但在“密铺性”上毫无疑问是落败的。“密铺”是一个重要的几何特性，指用形状、大小完全相同的图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。这是因为正五边形的每个内角都是108°，而360°不是108°的整数倍。如此一来，拼接处要么留下空隙，要么出现重叠。所以，正五边形是无法实现密铺的。

可如果我们稍微放宽限制，不要求五边形的每条边、每个角都相等呢？如果一个凸五边形只用重复和翻转自身即可不重叠、无间隙地密铺满整个平面，那么几何学家就称其为“可密铺五边形”。几个世纪以来，人们已经知道一些不规则的凸五边形可以密铺平面，而对它们的系统性探索，则是现代数理统计中最激动人心的故事之一。迄今为止，人们已经找到了15种，并且信誓旦旦地表明所有可密铺五边形都已经被找到了！在本书第7章，我们将了解这些可密铺五边形的发现历程。要知道，其中有四种可密铺五边形是由一位只上了一年高中数学课的家庭主妇发现的！

不过，让我们暂且回到正五边形的话题。如果你把正五边形的五个顶点与其中心（更准确地说，是这个正五边形外接圆的圆心）相连，就会得到一个新的图形。这个图形没有专属的名称，我们姑且引用生物学名词，称之为“五重辐射”。这种五重辐射的样式在大自然中非常常见——许多花和海洋生物都由五个相似的部分组成，具有“五重辐射对称性”（彩插1、2、10）。除了自然界以外，人类世界里也不乏这样的设计：克莱斯勒的五星勋章车标曾一度遍布大街小巷，一些汽车轮毂被设计成五重辐射造型。古代的日本社会里，名门贵族们常有专属的“家徽”，这些家徽常常是具有五重辐射特性的花卉或几何造型（图2）。慢慢地，“家徽”不再是王侯贵族们的专属，而成为日本民族中广为流传并且延续至今的习俗3。在西方社会，中世纪城堡常常具有五重辐射造型——城堡位于中心，五角各有瞭望塔。本书第9章就会为你展示这样一座城堡，这座城堡历尽沧桑而得以完好保存至今，实属珍贵。当然，我们也不能忘了全世界最出名的那座具有五重辐射造型的“堡垒”——位于美国弗吉尼亚州阿灵顿的“五角大楼”。这座紧邻华盛顿特区的国防部办公大楼无论在造型上，还是在战略地位上，都是令人无法忽视的存在。

在各种艺术作品里，我们也常常可以看到五边形的身影。图3是丢勒（Albrecht Dürer）的代表作之一《忧郁》(Melencolia)。这幅作品刻画了一位天使状少女苦思冥想的神态，而她身边则是一个多面体。从画面来看，这个多面体有六个五边形（尽管是不规则五边形）面和两个三角形面。这个与众不同的多面体也因此被称为“丢勒多面体”。不过，关于这个多面体（和图中所绘的其他几个几何体）到底是什么样子的、有什么含义，目前艺术界和数学界仍有争议4。彩插3展示的彩色玻璃窗属于德国边境小镇布赖萨的斯蒂芬斯大教堂，这是一座有着五边形设计的哥特式教堂，始建于12世纪。在当代，达利（Salvador Dali, 1904—1989）于1955年创作了《最后的晚餐圣礼》(Sacrament of the Last Supper)。这幅超现实主义作品描绘的情景似乎发生于一个十二面体内。正十二面体是五种柏拉图立体之一，由12个正五边形组成。关于这幅画，本书第3章还将进一步介绍。

1982年，人们发现了一种全新的矿物质晶体。这种晶体具有十重辐射对称性（所以当然也具有五重辐射对称性）。在此之前，人类发现的所有晶体都是二、三、四、六重辐射对称，从来没有发现过其他对称形式。因此，当时的科学界认为这种对称形式的晶体不可能存在。这一晶体直到10年后才终于被承认，并为其发现者、以色列理工学院的谢赫特曼教授赢得了诺贝尔化学奖的荣誉。本书第8章将详细讲述发现这一晶体的故事。当我每天早晨醒来时，第一样映入我眼帘的东西便是天花板上的五叶吊扇。我会想象这五片扇叶旋转所形成的圆，一个正五边形内接于它，而这五片扇叶所对应的五条半径即为圆心到正五边形各顶点的距离。半梦半醒之间，我会放任思绪飘荡——古希腊人是怎么只用直尺和圆规就画出正五边形的呢？据说，柏拉图（Plato，约公元前427—前347）早在公元前400年就做到了这一点。画出正五边形可比画出等边三角形、正方形或者正六边形难多了。实际上，五边形的“难”体现在方方面面：怎么画出正五边形、怎么计算它的对角线、怎么计算它的面积，等等。古希腊人想必是被难到七倒八歪，才会赋予这个图形如此多的神秘色彩吧！想要构建五边形，核心秘密在于“黄金分割比”（也称“黄金比例”）。黄金比例的数值约为1.618我国常用其倒数0.618。——译注，常以希腊字母表示。本书第2章、第3章将重点讲述与黄金分割相关的故事。

我们一辈子都在从事几何学相关的研究，深感几何不仅仅是数学，而且也是历史和文化的一部分。而在这之中，五边形与五角星的故事又占据着不可或缺的一席之地。本书以图文结合的方式讲述“五边形和五角星”的数学本质、历史及其在自然界和人类艺术以及建筑中的存在，希望读者们能够感兴趣。此前，我们出版了《美丽的几何》（Beautiful Geometry）。本书和前者一样，都只涉及了初等数学。这里所说的“初等”，大约是高中的几何、代数难度。本书的文字部分由我撰写，图片部分由约斯特绘制，包括彩色的插画和黑白的配图。我们诚挚地希望各位读者能够喜欢本作品。

在此，我们还要感谢以下人员在撰文和配图中过程中提供的帮助，他们是：Paul Canfield, Ron Lifshitz, Oded Lipschits, Ivars Peterson, Philip Pois-sant, Peter Raedschelders, Peter Renz, Kathy Rice, Moshe Rishpon, Doris Schattschneider, Daniel “daan” Strebe, Beth Thompson, Satomi Uffelmann Tokutome以及Douglas J. Wilson。此外，我们还要感谢始终支持本书创作的普林斯顿大学出版社的工作人员，以及提供了许多宝贵建议和意见的匿名审稿人。最后，我还要感谢我的爱妻达莉亚——自始至终，她一直在我身边，陪伴我、鼓励我、支持我完成本书的创作，给予我灵感和建议。在此，我们诚挚地向以上各位致谢！

最后，关于本书的尾注，我们还有一句小小的补充：当我们在文中直接引用了已在参考书目中列出的文献时，尾注中就只简单列出标题和作者姓名；否则，就会给出完整的文献来源信息。

马奥尔

于耶路撒冷和图恩

2022年1月

注释：

1.请参见下列网址： https://the-gist.org/2016/10/why-the-pentagon-continues-to-pester-mathematicians/, 2016。

2.希思爵士（Sir Thomas Heath）认为这一传统应归功于剧作家阿里斯托芬尼（Aristophanes，约公元前446—前386）创作的喜剧《云》（The Clouds）。见欧几里得《几何原本》，第二卷，第99页。

3.参见文章《日式会徽》（Kamon Symbols of Japan），网址：https://doyouknowjapan.com/symbols/ ；以及《日式会徽》，网址： https://en.wikipedia.org/wiki/mon _%28emblem%29。另请参阅参考书目中列出的Japanese Design Motifs: 4 260 Illustrations of Japanese Crests, 由阿达奇（ Fumie Adachi）翻译。

4.参见文章《忧郁I》（Melencolia I），网址：https://en.wikipedia.org/wiki/melencolia_i。