内容提要

不少高中毕业生，高考中数学考分并不很差，但是进了大学后，学习高等数学时却并不轻松，这是什么原因呢？

原来，大学和中学的数学教学有不少脱节的地方，首先是数学知识上脱节，其次，是逻辑和思维方法上的脱节.中学数学侧重于技巧，而大学数学要求对概念有深刻的理解，推理要严密等.这样，给处于转折关头的大学一年级学生带来了学习上的困难.本书目的是为大学生铺路架桥，让他们顺利地从中学过渡到大学数学的学习.

本书分成代数、几何、逻辑与思维方法三篇.前两篇补充一些数学知识，后一篇则是介绍逻辑知识及思维方法.

本书的受众主要是刚入大学还未适应大学数学学习的大学生和有志于深造的高中学生.本书还可作大、中学数学教师的教学参考书,对研究教材改革的同志也具有一定的参考价值.再版前言

网络上经常可以看到一些大学生发的关于“数学难”的帖子，这些帖子很有艺术性，有诗歌、对联、漫画，大多带着嘲笑、讽刺的口吻，让人看了哭笑不得.

那么，为什么这些同学会感到“数学难”呢？

原来，从中学到大学，学习环境、知识内容都发生了极大的变化.

中学里是老师“逼”的，而大学里是“放羊式”的，没有老师来逼你，如果你没有自觉性和主动性，肯定读得糊里糊涂，挂科是可以预料的事情.

中学里是老师“喂”的，循序渐进，有讲解，有练习，有巩固，有检查；大学里是“冲锋式”的，教学进度之快，可以把人一下子打蒙.老师讲完了之后，练习、复习、巩固都是你自己的事情.

这些，仅是有关学习态度方面的情况，这方面很重要，但别人帮不上忙，需要你自身去适应.

中学和大学的教学内容，由于种种原因，存在着脱节，存在着一些两不管的内容.中学教师兢兢业业备战高考，做了很多难题（而这些难题在进一步学习时未必需要），而有些内容，其实中学里没有教，大学老师以为在中学里已经学过，于是一带而过.这样就把本来就难的高等数学，弄得更为困难.特别是，近年来，教材作了不少改动，有些削弱了，有些放在选修里，而选修的内容又不考，于是，你不考我不教，最后甚至选修的教材也卖不出去，后来干脆就不印了.本书是想从数学本身，给大一学生补缺补差，铺路架桥，给出一点帮助.

补充一些具体的知识，固然重要，毕竟还是好办的，但学数学的思想方法比具体的数学知识，可能更重要.在再版之际，我思考最多的是，怎么样从数学思想方法的角度给大家一点启发，因此将原有的第三篇作了较大的改写.

张景中院士写过一本精彩的书——《数学家的眼光》，他说：“数学家的眼光是抽象的，我们觉得不同的问题，他们看来却是相同的.数学家的眼光是精确的、严密的，我们觉得一样的东西，他们看来却有天地之别.数学家的眼光是透彻的、犀利的，我们觉得很满足的数学结论他们却穷追不舍.数学家的眼光是辩证的，我们觉得一是一、二是二，他们却常常盯住变中不变的东西，不变中变的东西.”

大学里的数学比中学数学，知识更高深，譬如微积分，要刻画即时速度这样的不可捉摸的东西，很抽象，很深奥.

大学数学所含的思想方法更高级，譬如曲直转换，分割求和，充满了辩证法.

大学里数学知识的表达方式更简洁，大量使用符号，使人如读天书.

数学思想方法这玩意儿，比较隐性，难以捉摸.我对数学的理解也很肤浅，很难提炼整理清楚，所以只能笼而统之讲几点体会.

我提炼了五个学习高等数学必须过的“坎”，他们是：无限，逻辑量词，定义，符号，基本量.我认为这五个坎过不了，高等数学肯定学不好，因此要花大力气领会消化.

第三篇的其余五节，我称之为应晓应悟的数学知识，大多是中学里没有提到过的，或者是不够重视的知识，对这样的知识做点介绍或回顾，能够体会到一些高等数学的思想.相对来说，这几节对学好大一的高等数学没有那么紧迫，但是从长远看是终身受益的.

这五个坎、五个应晓应悟，只是我的初步体会，这些体会未必妥当，也肯定不完整，仅是一家之言，希望有识之士给予批评、补充.

衔接问题，一是范围甚广，有小初衔接，初高衔接，大学和中学的衔接，本书主要谈了高中和大学数学教育的衔接；二是没有引起重视，考虑这个问题的老师很少.也难怪，大学老师、中学老师、小学老师都各司其职，忙忙碌碌，“铁路司机，各管一段”，很难有时间、有兴趣去思考衔接问题.也看到过一些衔接问题的书籍和文章，但大多是补充一些习题，对衔接问题缺少深入的探讨.所以说，这个课题还有深耕的必要.我是抛砖引玉，期望广大教师、学者做进一步的研究.

陈永明2023年8月（时年八十又三）

前言

笔者长期从事中学数学和教师进修班的数学教学工作，在给一些参加进修的中学数学教师上高等数学课时，发现总有一部分学员学习有困难，甚至产生畏难情绪.分析产生困难的原因，其中之一是大学数学教学与中学数学教学之间衔接得不十分理想.大学数学中有一部分内容涉及了某些初等数学的知识，这些初学数学知识理应在中学里教授，或者可以由大学教师补授.但事实上中学课本里没讲到，或没讲透，或讲授的角度、侧重点与大学的要求不相符合；而大学教师却认为中学生大概已掌握，从而未予重视，或一带而过，结果造成某些知识点的两不管状态.这种两不管状态，导致学生在高等数学的学习上产生了困难.

譬如，在中学里，学生们曾经做过许许多多的不等式的题目，但是却没有学过“放大法”，而在极限等内容中，老是要用到放大法；中学里讲过各种曲线，但是却没有讲区域，然而，到了学重积分时，积分必须在一个区域上进行……这样，学生在学习高等数学时，当然会遇到不少困难.

除了数学内容上的脱节外，中学生在逻辑和思维方式上也有不少缺陷，一下子遇到高等数学里的复杂的逻辑结构，就束手无策.

譬如，为什么不少大学生难过极限概念关呢？其重要原因是极限概念中已经重叠使用量词（任给ε>0，存在N……）,而中学里根本没有提到过量词，是不是初等数学的定理、定义都不涉及量词呢？并不是！譬如：

所谓锐角三角形，是每一个内角都是锐角的三角形；

所谓直角三角形，是有一个内角是直角的三角形.

其中，已经用到了全称量词“每一个”和特称量词“有一个”.难怪笔者在对一些已经有大专以上学历的教师上了“继续教育”（上海叫做“职务培训”）课程“数学教学逻辑学”之后，有些学员说：“蛮好早点给我们讲点量词知识，这样，当年学微积分时，就不会给极限概念搞得晕头转向了！”

此外，在学习方法上脱节更是十分严重.中学生基本上是老师“喂”给学生吃的，到了大学，老师一下子彻底放手让学生主动学习，这对大学一年级的学生来说难以适应.中学里对解题技巧十分重视，大学里却要求对概念、法则理解得深刻、清晰，这也是不容易转过弯来的.

笔者认为，研究大学、中学数学教学间的衔接问题已刻不容缓.本书就是研究衔接问题的一个尝试.

本书的受众，首先是大学生，特别是数量众多的工科大学的一年级学生.笔者希望能为他们架起一座“引桥”，使他们能顺利地进入高等数学的自由王国.有志于深造的高中学生当然也可以一读.

本书对大学、中学数学教师也是一本教学参考书.中学数学教师可以从中了解到中学数学教学的一部分薄弱环节.希望中学数学教育界的朋友们在可能的情况下，能适当地讲一点这些“两不管”的内容.大学数学教师可以从中了解到自己的学生在基础知识和思想方法方面的缺陷，为了使教学效果更好些，尽量想办法挤时间运用适当的方式加以弥补.

本书对研究中学数学教材的同志可能也会有一定的启发.

本书讲的知识，不少是初等数学方面的，但这是学习高等数学所需要的，同时又是被中学所忽视的.本书对待每一个知识点，不但介绍有关知识，而且还介绍这些知识在高等数学中的作用，有时干脆结合高等数学的知识点来叙述.同时，还举出一定量的例题，附上一定量的练习题，使所讲的知识能够得到巩固.

衔接问题是一个复杂、艰深的课题，笔者才疏学浅，难以担当起这一重大任务，书中一定会有不少错误、疏漏之处，希望专家、同行、大中学生能对本书提出宝贵意见，并共同努力把这一个课题完成好.

著者于上海市徐汇区教育学院一九九○年八月