内容提要

本书汇集了有关递推关系的知识，包括了几个部分：首先是递推关系的一般认识.接着是本书的重点部分——讨论了递推关系与通项公式、前n项和的互求：从递推关系求通项公式——分类讨论和思想方法汇总，从递推关系求前n项和公式，从通项公式求递推关系，在这些章节中，既有例题、习题的种种解法，又进行了归类；既研究技能技巧又从思想方法角度加以分析.最后部分是关于递推关系理论的初步探讨，以及在计算机时代，为什么递推关系（迭代）能大放异彩.

在递推关系方面，本书是收集、整理得比较完整的一本参考书.适合高中师生学习参考.

前言

递推关系，在高考中常有出现，也是高中教科书中一个重要的内容.它不仅是数列章节的基础概念之一，而且在解决实际问题时具有广泛的应用.但是限于篇幅原因，教科书里没有完整地进行过介绍，因此，广大师生迫切需要有这方面的参考书.

本书是一本比较全面叙述递推关系的书籍，包括从递推关系求数列的通项（各种类型、各种方法）与前n项和公式；从通项公式求递推关系；以及从递推关系着手研究数列的特性（有界性、单调性）与数列的极限，并收集了高考题中一部分有关递推关系的题目；最后，简单讲述递推关系在计算机中的应用.

这本书的编写有几个特点：第一是讲述解题方法和技巧，第二是把这些方法和技巧分类有序呈现，第三是再从思想方法角度加以总结.我和我的团队非常推崇张景中院士提出的解题“中巧说”，在学习“中巧说”的基础上，编写了《数学习题教学研究》《陈永明讲评数学题——高中习题归类研讨》和《陈永明讲评数学题——初中习题归类研讨》，本书延续了这种风格.对高中数学教师和高中生来说，这可能是较好的辅助资料，希望对大家有所帮助.

一本优秀的教参，还应该有更高的要求：既能讲述解题方法和技巧，又要“翘一翘尾巴”——从理论上稍加发挥.本书除了编排上的三个特点之外，还对递推关系的性质（单调性、有界性、极限）做了一点探讨，可能可以满足高中教师的需求.

我一直认为，我国的基础教育很扎实，但是有点“坐井观天”，在初等数学的小圈圈里打转，不了解书本之外的事情.譬如，我们书本上讲了二次方程，而且学了不少解题技巧，可就到此为止了.学生一般不会问：“讲了一次方程、二次方程，那么三次方程为什么不讲啊？”学生能不能问和问不问这样的问题，性质是大不一样的.所以，教材要给学生“留白”，要诱导学生去了解“井”外的广阔的天地.本书想对高中生“留”个“白”，看看我们反复练习的数列、递推关系究竟有什么用处.

学习递推关系，不仅有助于参加高考，其实还有更深的意义.

不可否认，在笔算的年代，数列的通项公式比较好用.譬如求某数列的第100项的值，只要将n=100代入到通项公式中去，结果立马出来了.如果用递推关系来求，先要由第一项求出第二项，再由第二项求出第三项……最后由第99项求出第100项，真是少慢差费.但是，在计算机飞速发展的今天，情况发生了逆转，递推关系更显示出强大的生命力.计算机不怕麻烦，不怕复杂，只要利用递推关系设定了程序，结果马上算出来.计算机大量运用迭代，其实迭代就是递推关系的一种运用.

总的来说，递推关系和通项公式都是描述数列的重要工具.递推关系提供了一种从已知项出发计算未知项的方法，在计算机科学、物理学、生物学等领域都有广泛的应用.例如，在计算机科学中，动态规划算法常常使用递推关系来解决问题.而通项公式则直接给出了数列中任意一项的具体数值，在物理、工程等领域都有广泛的应用.例如，在物理学中，我们可以使用通项公式来描述物体的运动规律；在工程学中，我们可以使用通项公式来计算某种结构或系统的特性.它们在不同的应用场景下都有着重要的作用.

本书是在我的一本旧作基础上修订的，参与修订的有徐卫文、陶烨昕、李瑾、陈永明.

陈永明2024年1月