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前言
微积分引发的心理创伤网传中国科学家钱学森先生说：“人就算再笨，14岁还能学不会微积分吗？”这句话被大量传播，很多网友调侃说自己拖后腿了。无独有偶，世界著名数学家、菲尔兹奖获得者、哈佛大学终身教授丘成桐先生曾对中国的数学教育做出过评价。他认为，科学革命的基础在于微积分的建立，而很多中学都不教微积分，等于是回到中世纪的黑暗时代，实在可惜。钱老和丘成桐先生的观点是正确的，微积分的思想确实可以在中学教授。
2023年3月16日，我在北京大学的“博雅讲坛”第496期做了一场主题为“科学的数学化起源”的科普直播讲座，通过阐述“科学史中的数学史”和“数学史中的科学史”，讲述学习数学文化和历史的重要性。这场讲座在搜狐、喜马拉雅、网易公开课、百家号、抖音、快手、视频号、B站、微博等平台联合播出，吸引了近50万人同时在线观看，说明公众对数学文化和历史是非常有兴趣的。
数学史是一种高级的思维框架和叙事工具，用数学史的思维和观点讨论问题，可以展现精确的思辨。学习数学史可以培养和训练深刻的洞察力。从数学史开始了解数学，不仅可以开拓视野，还可以了解数学关系式的底层思维逻辑，领略思维之美。
中国数学史家梁宗巨先生撰写了《世界数学史简编》，他在序言中引用了一位英国数学家的观点：“任何将一种科目和它的历史割裂开来的企图，没有那（哪）一种科目比数学的损失更大。”对于数学的概念和理论，如果知道它的来龙去脉，就会对它有更深入的认识。数学教育使人觉得数学真理是天经地义的，但是，只要考察数学史就可以知道，这种认识是不正确的。
在很长一段时间里，我国教育界对数学本质的认识，偏重于数学证明和形式推导，以及数学与生产实践及自然科学的关系，忽略了数学背后的历史和哲学思想。数学是人类文化的重要组成部分，数学水平是一个民族的文化修养与智力发展的度量。现代科学和技术的巨大发展，主要源于数学的现代发展，源于数学在自然科学和社会科学中的纵横渗透。
在中国的微积分教育中，人们学习的是以极限为中心的逻辑严密、概念清晰、结构严谨的庞大微积分知识体系，按照一元函数到多元函数的顺序，求初等函数的导数、微分和积分。也就是说，学生们一上来就学极限和导数的概念。但是在微积分的演化历程中，极限的精确定义是在古典微积分之后150多年才逐渐发展起来的。由于不了解微积分被精确严密化之前的演化历程，学生们会产生一种错觉，认为是先有极限和导数，然后才有微分和积分，而真实的历史顺序刚好相反。通过全面了解微积分的严密化过程和演化历史，学生可以对微积分有一个更全面的了解，学习起来也会更加自信。
在人类文明中，数学如果脱离了其丰富的文化基础，就会被简化成一系列的技巧及知识。法国数学家庞加莱（Jules Henri Poincaré，1854—1912）有一句名言：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径就是研究这门科学的历史和现状。”
美国数学史家克莱因（Morris Kline，1908—1992）说，数学的历史告诉人们：数学的展开并不符合逻辑，把直觉、巧妙的推测、纯粹形式上的运算（不加批判地使用）和一些物理论证拼凑起来，便引导着数学家去肯定他们所谓的“定理”。
普通人并不真正了解微积分背后的发展历史和思想脉络，这使得众多学生和普通大众对微积分产生惧怕心理，微积分甚至成为许多人学习数学的重大心理障碍。中国的数学教育更多强调解题技巧，对于数学史、数学思维方法及哲学介绍得不够多，其结果就是中国学生在数学的原始创造性方面缺少胆识。
其实，除了针对学生的“如何学好微积分”这个问题之外，还有另外一个针对学过微积分者的问题，即“你为什么没有学好微积分”或者“你为什么终生害怕微积分”。许多中国人对于微积分有种莫名的恐惧心理，他们虽然会完成微积分的计算，但可能终生都没有理解微积分的本质。对于这些问题，本书所传递的信息就是：要想学好数学，特别是学好微积分，需要了解数学的历史。
如何把数学知识放在一个大历史背景中去学习和了解，将会帮助你对一些基本概念有更深刻的理解。《微积分的传奇》正是在这一指导思想下创作的。
奥地利-捷克物理学家马赫（Ernst Mach，1838—1916）说：从历史角度研究一门科学的发展是最有必要的，免得其中记载的原理变成让人一知半解的指令体系，或者更糟糕，变成引发偏见的体系。换句话说，要想深刻理解微积分这门学科，对它的历史必须要有清楚的认识和了解。
数学的历史、哲学与文化属于科学人文的范畴。但是，科学人文的内容与考试并不直接相关，所以并没有得到更多的重视。然而，正是这些与考试无关的内容，对于理解数学的本质、对数学产生兴趣有重要的作用。如何学好数学？我们的答案是：多了解一些数学的历史和人文。要想学好微积分，不妨也深入地了解一下微积分的演化历史。
《微积分的传奇》，献给那些学过微积分，但一辈子都没有搞懂微积分的人；献给那些听说过微积分，但一辈子都没有学习微积分的人；献给那些惧怕微积分，一辈子都有微积分心理创伤的人。
朱海松
2025年12月
引子微积分：人类精神的最高胜利 / 3第1章微积分思想的萌芽 / 11
一、自然的理性化运动：还原与分析 / 13
二、第一次数学危机：离散与连续 / 17
三、德谟克利特：“原子论”与不可分量 / 20
四、芝诺悖论：利用无穷否定运动 / 22
五、柏拉图：“数学原子论” / 24
六、亚里士多德：否定瞬时运动 / 28
七、亚里士多德：承认潜无穷，否认实无穷 / 31
八、《几何原本》第五公设：巧妙规避无穷 / 33
九、阿基米德的“穷竭法”：“面”由“线”组成 / 37
十、无穷小与连续性的悖论 / 41第2章微积分产生的历史背景 / 45
一、千年的追问：拯救现象 / 47
二、自然的数学化运动：科学纲领的数学化 / 51
三、微积分产生的历史背景 / 54
四、开普勒的葡萄酒桶：新立体几何 / 58
五、伽利略：过程比原因重要 / 60
六、伽利略提出“加速度”与“瞬时速度” / 66
七、伽利略对无穷的思考 / 69
八、真空与无穷小 / 70
九、一个精彩的论证：面由线构成 / 74第3章“ 不可分量法”：伟大的探索与创新 / 79
一、卡瓦列里：无穷的量之间能比较吗？ / 81
二、“不可分量法” / 82
三、一个非同寻常的证明 / 84
四、求曲线下方的面积 / 86
五、围绕“不可分量法”的斗争 / 87
六、托里拆利：不可分量具有宽度和厚度 / 90
七、“无限抛物线”的斜率 / 93
八、梅森学院：“不可分量法”的传播 / 97
九、康熙与路易十四：“国王的数学家” / 100第4章微积分诞生前夜：巨人们的肩膀 / 107
一、笛卡儿：天花板上的苍蝇 / 109
二、培根：经验哲学 / 112
三、费马：趋向于零的增量 / 115
四、罗贝瓦尔：法国微积分发展三巨头之一 / 119
五、帕斯卡：蒙着眼睛做研究的人 / 121
六、惠更斯：莱布尼茨的数学老师 / 123
七、沃利斯：启发牛顿的人 / 125
八、霍布斯的责难：“符号的疮疤” / 131
九、巴罗：点拨牛顿的人 / 134第5章微积分的根本思想：微积分基本定理 / 141
一、真传一句话、假传万卷书 / 143
二、微积分的核心概念：导数 / 144
三、导数的物理意义：从平均速度到瞬时速度 / 146
四、导数的几何意义：割线与切线的重合 / 149
五、导数的计算和定义：无穷小与极限 / 152
六、路程函数对时间的一阶导数：速度 / 153
七、路程函数对时间的二阶导数：加速度 / 157
八、微积分基本定理 / 159
九、积分后面出现的积分常数C / 167第6章牛顿的微积分：流的瞬间 / 171
一、牛顿的流数术：“瞬”“流”“流数” / 173
二、“动点成线”：牛顿求切线斜率的方法 / 174
三、“动线成面”：牛顿的微积分基本定理 / 177
四、牛顿的“运动”思想：“流动”的面积 / 180
五、牛顿第二定律：第一个伟大的微分方程 / 182
六、牛顿的综合：自然的原理是数学的 / 184
七、“牛顿主义”的产生 / 189
八、牛顿对西方文化的影响 / 190第7章莱布尼茨的直觉：从“差和分”到微积分 / 193
一、莱布尼茨：百科全书式的伟大学者 / 195
二、“单子论”哲学：自然从来不飞跃 / 197
三、“差和分”的互逆性 / 199
四、曲线下方的面积：微分是无穷细分的差分 / 203
五、从符号变换中“看出”基本定理 / 205
六、不是切线，是斜率！ / 206
七、莱布尼茨的微积分：积分是微分的逆 / 209
八、形形色色的数学符号 / 212
九、牛顿和莱布尼茨的微积分有何不同？ / 217
十、微积分创立优先权之争 / 219第8章第二次数学危机 / 225
一、微积分的基础是不严密的 / 227
二、贝克莱批评牛顿：导数是“消失的量的鬼魂” / 229
三、贝克莱批评莱布尼茨：双重错误导致的正确 / 231
四、莱布尼茨的反驳与解释 / 232
五、欧拉：无穷小就是绝对零 / 234
六、达朗贝尔：从无限到极限 / 236
七、拉格朗日的悬赏：无穷，是吞没我们思想的深渊 / 238
八、伯努利兄弟：微积分名称的由来 / 241第9章微积分的严密化 / 247
一、高斯：数学真理存在于分析中 / 249
二、傅里叶级数：分析严密化的开端 / 253
三、 柯西：用“极限”消灭“无穷小” / 256
四、 魏尔斯特拉斯：彻底消灭直觉 / 262
五、导数是商的极限 / 266
六、微分与导数的区别 / 267
七、积分是和的极限 / 268
八、连续的函数不一定可导 / 268第10章微积分：十维文明的交响曲 / 273
一、定义无理数：戴德金分割 / 275
二、集合论：整个微积分理论的基础 / 279
三、康托尔的创新之殇 / 284
四、第一、第二次数学危机的解决 / 285
五、罗素悖论：第三次数学危机 / 286
六、哥德尔：“真”永远大于“证明” / 288
七、微积分的哲学意义 / 291
八、微积分如何进入中国 / 293
九、微积分：十维文明的交响曲 / 295
十、微积分：人工智能大模型的数学基石/ 298
后记1对中国数学教育的反思 / 303
后记2中国科学教育需要“第四次科学启蒙” / 314
进阶读物 / 322
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